“数学教师的素养”对话录（一）

“数学教师的素养”对话录

对话者：史宁中(东北师范大学校长、教授、博导，国家基础教育实验中心主任、义务教育数学课程标准修订组组长)   

    孔凡哲(东北师范大学教育科学学院教授、博导，国家基础教育实验中心副主任)

    孔凡哲(以下简称“孔”)：为什么提出提高中小学教师素养的话题?

    史宁中(以下简称“史”)：之所以会产生这样的话题，其原因有两点：一是必要，二是可能。

    这里的必要性是指，国家正在全面普及义务教育、全面提高国民素养，“能上学”已经不再是广大公民可望而不可求的事情，而变成几乎每个人都可以得到满足的基本需要。不仅如此，广大公民普遍开始追求“上好学”。不言而喻，“上好学”的关键在于拥有一支高素质的教师队伍。

    这里的可能性是指，国家重视“各种培训、校本研究。将提高教师队伍的整体素质作为教育振兴和可持续发展的重要保障。

中小学教师的基本素养

    孔：对于中小学教师而言，怎样才能成为好的教师呢?

    史：努力成为好的教师，应该是每一位在职中小学教师的现实目标和价值追求。为了做到这一点．需要集中做三件事。

    首先，热爱教育事业。这是成为一名好教师的基本前提。只有热爱教育事业，热爱本职工作，才能变被动为主动，才能充分体现出人生的价值；只有将自己从事的日常工作变成自己的兴趣之所在，才能创造出精彩和奇迹。

    其次。必须具有明确的教育理念。

    教育理念是教育行为的源头。长期以来，我们坚持“以知识为本”的教育理念，关注知识的传授，关注学生是否接受，为此，我们长期信奉凯洛夫的“三中心”论，即以课堂为中心，以教科书为中心，以教师为中心。

    进入21世纪以来，我们坚持“以人为本”的教育理念,关注学生的全面成长，按照素质教育的内涵培养合格的人，坚持“尊重的教育”理念，站在受教育者的立场思考有关的策略和方法。因而，我们不仅坚信教育是生存的需要、接受教育是孩子的本

能，而且坚信“学生的发展需要依据教育规律，基因的充分表达需要后天的适度刺激”，同时，坚信好的教育需要启发学生思考，需要坚持启发式教学原则。

    在深化素质教育的今天，我们尤其要关注素质教育的两个核心理念。

    其一，树立人的全面发展观是素质教育的重要理念。

    在我看来，素质教育70％的工作是在学科内，30％的工作是在学科外，而不是像以往所理解的“素质教育主要表现在音乐、美术等课外活动之中”。

    不仅如此，在学科外的活动，尤其要注重发挥其在以下方面的教育价值：培养开朗的性格，培养与他人合作的能力、语言表达能力、组织能力；同时，也要培养学生对于生活的观察与思考能力。

    在包括数学在内的学科教学中，要着眼于学生的全面发展，尤其要注意激发学生的学习兴趣，培养良好的学习习惯以及健全的身心素质和人格。

    其二．培养学生的创新精神和实践能力是素质教育的重点。

    事实上，成为创新性人才至少应具备三个条件，即创新意识、创新能力(核心在基础教育)与创新机遇。其中，创新意识的培养，其根本阶段在基础教育。而创新能力的基础在于知识的掌握、思维的训练和经验的积累。因而，创造力的培养应当从基础教育抓起。

    传统的教育重视知识的传授和技能的训练。知识在本质上是一种结果，可以是经验的结果，也可以是思考的结果。因而，传统的教育本质上是结果的教育、知识的积累。而素质教育不仅要重视知识，也要重视智慧。智慧并不表现在经验的结果上，也不表现在思考的结果上，而表现在经验的过程中，表现在思考的过程中。因而，素质教育必须是过程的教育、经验的积累。

    其中，过程的教育不仅仅是指，在授课时要讲解或者让学生经历知识产生的过程，甚至不是指知识的呈现方式，而是注重学生探究的过程、思考的过程、反思的过程。

    我们必须清楚，世界上有很多东西是不可传递的，只能靠亲身经历。智慧并不完全依赖知识的多少，而依赖知识的运用、依赖经验——你只能让学生在实际操作中磨炼。

    因此，组织学生的学习活动是必要的、不可缺少的。

    对于思维的训练(基本思想的教育)，正如爱因斯坦指出的，“西方科学的发展是以两个伟大成就为基础，那就是：希腊哲学家发明的形式逻辑体系(在欧几里德几何中)，以及通过系统的实验发现有可能找出的因果关系(在文艺复兴时期)”④。爱因斯坦所说的前者就是指演绎能力，后者则是指归纳能力。对此，杨振宁在《我的生平》中指出，“我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作，我在中国学到了演绎能力，我在美国学到了归纳能力”。

    就我国中小学教育教学的实际而言，还缺少什么?——根据情况“预测结果”的能力以及根据结果“探究成因”的能力。这就需要一种“从特殊到一般的推理”，即从个别现象出发、抽象出共性、总结出一般的结论，也就是归纳推理。

从思维训练的角度考虑，过去的教育过分强化演绎，缺少归纳能力的培养，对培养创新性人才是不利的。但这种培养是困难的，是基于经验的。

    发展中小学教育，就需要根据时代的需要，将基础知识、基本技能发展为基本知识、基本技能、基本活动经验，也需要将分析问题、解决问题的能力，发展为发现问题、提出问题并加以分析、解决的能力，更需要将以往只重视演绎能力，发展为归纳能力、演绎能力并举。如果学生接受这样贯穿始终的教育，那么就能够逐渐增强创新意识、提高创造能力。

    最后,要想成为好教师，还要学会反思,学会研究。

    为此,一方面，要学会研究自己的所思所想所惑，进而把经验升华为思想。

    另一方面，教师要把握相关的科学依据，既包括教育科学的规律，也包括数学科学的内部特点。例如，要准确认识数学学科的本质，全面把握“四基”(指基础知识、基本技能、基本活动经验、基本思想)的内涵，比较深刻地了解学生的认知规律，比如，不同年龄段的学生其关注点存在差异，小学生比较关注身边实物，初中生的学习往往需要物理背景(如函数的变量定义)，而高中生的学习需要进行符号抽象(如函数的对应定义)。

  数学教师的特殊素养

    孔：作为一名合格的中小学数学教师，除了具备上面所谈的一般素养外，还应该具有哪些特殊的数学素养呢?

    史：在我看来，中小学数学教师至少还应具备以下特有的数学素养：

    1．具有扎实的数学专业基础。

    最起码的要求是，对于中小学数学课程内容所涉及的几何学、代数学、统计与概率等领域的内容有初步的了解。

    例如，小学数学教师不仅需要精通小学数学课程的相关数学内容，而且能够理解高中数学的基本内容，把握初中数学的基本内容，尤其是与小学数学关联密切的内容，如小学负数与初中负数的异同，小学方程与初中方程的关联，等等。

 2．全面把握数学学科知识。

    特别地，比较清楚地把握数学科学体系中知识的核心思想，知道知识的来龙去脉，同时了解这些数学知识的教育价值。

    例如，义务教育阶段数学的本质是研究“关系”——“数量关系，图形关系，随机关系”；分数的本质内涵，不仅在于它是一种有理数，而且更在于它的无量纲性。分数无量纲性的意义在于，能够把事物许多不可比的状态变成可比的状态。这一点，对于数学活动特别是数学建模来说，有时具有十分重要的意义。

    函数作为最重要的一种数量关系，在中小学数学内容体系中处于主线地位。函数研究的是两个变量之间的数量关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也发生变化，这就是函数表达的数量之间的对应关系。其中，有三点是重要的，一是变量的取值是实数，二是因变量的取值是唯一的，三是必须借助数字以外的符号来表示函数。这些就构成函数定义的核心。关于符号表达，无论是借助解析式，还是利用图像或者列表，都是可以的。

    义务教育阶段几何课程内容的教育价值，不仅体现在几何直观、空间观念、积累几何活动经验，而且也表现在演绎推理和归纳推理。

    3．准确把握教材的新特征，明确其重点、难点与关键。

    为此，必须全面了解现行课程标准实验教科书的特点，实际问题的驱动是数学新教科书的突出特征，而问题的引入、概念的提出、公式的呈现，都充分体现出教科书在创设有利于学生自主建构的外在环境。

    不仅如此，对于数与代数、统计与概率等数学课程中每个领域的突出特点，也要有比较准确的把握。例如，统计与概率领域的教学重点是发展学生的数据分析意识，培养学生的随机观念，难点在于，如何创设恰当的活动，体现随机性以及数据获得、分析、处理进而做出决策的全过程。

    4．坚持启发式教学原则，注重培养学生的学习兴趣与良好的学习习惯。

    在教学中，必须贯彻启发式教学原则，最大限度地吸引学生积极参与课堂教学，重点处理好“预设与生成”的关系，帮助学生理清思路。而引导学生思考，关键是与学生一起思考。为此，教师必须经常与学生“换位思考”。

    不仅如此，在教学中，教师要通过各种机会有计划、有目的地培养学生的归纳能力，帮助学生积累数学活动经验。

    例如，在一个房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿与凳子腿加起来共有60个，有几个椅子和几个凳子?

    这是典型的“鸡兔同笼”问题，但是，椅子和凳子相差一条腿，因而，与鸡兔同笼的原始问题相比，这更有利于学生进行“尝试”。为此，可以让学生列表尝试：

    学生不难发现，随着椅子数量的减少，腿的总数在递减，而目前的总数是60，因而，还需继续尝试着增加凳子数、减少椅子数，最终找到符合条件的结果。

    对于上面的凳子、椅子问题，仍然可以用尝试的方法列出方程，进而解决问题：

    这样，合题意的方程为4×a+3×(16-a)=60。

    这也许就是“过程的教育”——让学生自己探索答案，而不一定是通过教师讲道理、分析出答案。通过“道理”直接给出结果，固然是好的，但是，通过有规律的计算，寻求这个规律，这是得到一般结果的有效手段，也是我们过去教学中普遍忽视的内容。

    总之，教师要学会站在学生的立场思考问题，只有这样，才能引导学生积极主动地思考。

  关于数学教师素养的若干认识误区

    孔：我们注意到，当前许多中小学数学教师对于涉及厦专业素养的问题产生困惑。存在若干认识误区，例如：

  误区之一：技巧=技能，熟能生巧，于是进行大量的简单重复、反复训练。

    误区之=：形式化=推理(追求格式)。

    误区之三：逻辑是发现真理的主要方法。

    我们应该怎样分析这些误区呢?

    史：首先，技能、技巧是两个不同的概念，虽然技巧是技能的熟练化，但是，技巧≠技能。有关心理学实验表明，适度的技能训练可以实现熟练化，但是，过度的技能训练容易导致“熟能生厌”、“熟能生惰”，而不是“熟能生巧”。同时，目前充斥于中小学数学教学中的大量技巧性内容，其实更多是一些解题术，是“自古华山一条路”式的解题术,而不是具有普适性意义的内容，进行大量的、简单重复式的技巧训练，必然导致“高分低能”,对学生在数学上的可持续发展产生严重的不良影响。

    其次，形式化≠推理，但是，逻辑=演绎。

    推理既包括演绎推理，也包括合情推理。逻辑包括形式逻辑与数理逻辑，而形式逻辑构成通常意义下的演绎推理的主体。

    演绎推理来源于亚里士多德。他在《工具论》中提出了演绎逻辑的基础作用。演绎推理是一种前提与结论之间有必然联系的推理。具体地说，是一种基于概念、按照规则进行的推理，因而是一种由一般到特殊的推理。就数学而言，演绎推理是基于公理、定义和符号，按照规定的法则进行命题证明或者公式推导。其基本形式是三段论。

    数学的形式化就是指数学“符号化+抽象公理化”。正如我在《数学思想概论-图形与图形关系的抽象》中指出的：希尔伯特在《几何基础》中构建了一个形式化的几何公理体系，在这个公理体系中，我们能够体会到“形式化”的含义：不管我们讨论的对象的实质是什么，只要从已经定义了的、用符号表示的对象出发，依据所确定的几组公理以及认定的逻辑法则推导出的结论就一定是正确的，这便是理想中的、脱离了经验的数学。

    其实，形式化是数学发展所必需的，形式是数学的重要特征之一，但是，过度的形式化，对于中小学数学有害而无益，即使在数学科学内部，一个命题正确与否的最终判断，并不完全是形式化公理体系内部的事情，仍然需要借助客观世界。

    真理的发现与确认，与演绎推理和归纳推理都密切相关。演绎推理与归纳推理(即人们一般所谈的合情推理)在数学发展上分别起到不同的作用，其中，演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。发现主要靠归纳推理。通过归纳得到的结论即便不能被演绎证明，那些结果也可能是具有一般性的，因为许多结论往往不在于对错之分，而在于好坏之分，现在科学界流行的计算机模拟就是基于这个思想。因此，我们不能说这两种推理能力哪个更重要，而必须强调这两种能力的有机结合，正如杨振宁先生所体会的那样。用演绎推理虽然不能发现真理，但用演绎推理能够发现错误，可以启发人们从另外的角度去思考问题，这对于发现真理也是有益处的。

    如何增强自己的数学专业功底

    孔：对于中小学数学教师而言，提高专业能力，不仅仅需要转变教育观念、增强教育教学功底,更需要不断增强自己的数学专业功底=你觉得教师该如何做呢?

    史：如何切实提高自己的数学专业功底，这是当前中小学数学教师最为关切的话题。对此，我想，需要集中抓好三件事情：

    一是理解数学抽象、推理、模型等核心数学思想，把握数学的主要思维特征。

    二是正确理解中小学数学中的“关系”，从整体上把握中小学数学课程内容。

    三是有针对性地深入研究不同学段中核心数学内容的学科本质，切实将数学专业功底的提高与研究中小学数学课程的核心内容融合在一起，而不是片面地(按照大学学习的方式)学习大学数学、现代数学的内容(虽然这也非常重要)。

    例如，分别探讨小学数学中的分数、中学数学中的方程、函数等内容的本质，对于更好地从数学的视角把握中小学数学课程内容，至关重要。

    孔：如何理解数学抽象呢?

    史：数学研究“抽象了的东西”，是从现实世界中抽象出来的，依赖于人的经验的。正如思格斯在《反杜林论》中所阐述的：纯数学是以现实世界的空间形式和数量关系，也就是说，以非现实的材料为对象的。

    今天，对于数学抽象的本质，我们可以达成这样的基本共识：真正的知识是来源于感性的经验、通过直观和抽象而得到的，并且，这种抽象是不能独立于人的思维而存在的。

    数学抽象具有鲜明的层次性。就抽象的深度而言，数学抽象大体上分为三个层次：

    第一层次：把握事物的本质，把繁杂问题简单化、条理化,能够清晰地表达，我们称其为“简约阶段”。

    第二层次：去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物、在内的一类事物，我们称其为“符号阶段”。例如，从两个苹果、

两匹马等等价类中，抽象出这类集合的共同特征，这就是2。而2是抽象了的，是符号，现实中并不存在，而两个苹果、两匹马只是2的特例、2的原型。事实上，

两个苹果与两匹马相加，就不伦不类，而2+2=4则意义明确。

    第三层次：通过假设和推理建立法则、模式或者模型，并能够在一般的意义上解释具体事物，我们称其为“普适阶段”。

    数学在本质上研究抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象。这种抽象了的东西，就是数学研究所必须定义的最基本的概念。数学概念是人们在数量和图形方面对事物本质进行抽象的结果，那些抽象了的东西在现实世界中是不存在的，抽象了的东西只是表现在每一个具体事物之中。当然，抽象必须依赖于具体的人、必须依赖于具体人的抽象能力。因此，正如康德认为的那样，人类的一切知识都是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束。人与生俱来的、与子代经验无关的“直观”的物质基础确实是存在的。但是，没有后天的经验，这种直观不能得到充分表达。不仅如此，直观并不是一成不变的，随着经验的积累其功能可能逐渐加强。数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确立依赖于数学抽象，依赖于数学推理。

    孔：如何理解数学中的关系呢?

    史：事实上，整个义务教育阶段和高中阶段的数学本质上都是在研究关系。具体来说,是在研究数量关系、图形关系和随机关系等三类关系，而其他相关的内容并不代表数学的本质。

    孔：如何理解数量关系呢?

    史：小学数学最为基础的内容是研究数及其运算，这就要接触到数字。而数字的本质在于多与少。而后，多与少在数学上就变成大与小，之后，逐渐产生了自然数。

    孔：数学史显示，产生自然数实际上是非常了不起的。让学生理解自然数，其重要性体现在哪些方面呢?

    史：产生自然数有两个最了不起的成果：

    一个是从一类事物的共同属性中抽象出“数”。两匹马、两头驴、两个人的共同属性中都有2，能抽象出2是非常了不起的。中国古代数学对此的抽象非常差，几乎到了清朝都没有抽象出来，因而，中国古代数学几乎总是带有名数。其实，世界上根本没有2，只有两个具体思想的人、两瓶饮料，等等。

    孔：能不能这样认为,在这里，自然数是一类有限等价集合的共同特征，是作为一类等价集合的标记而出现的。也就说，对于集合A={al，a2，a3，…，an，},B={bl，b2，b3，…，bn}而言，它们之间可以建立一一对应关系(如，映射f：ai---bi，其中，i=1，2，…，n)，进而，也就构成一组等价集合，自然数n就成为这些集合A、B、…的共同特征之一。

    史：这种理解，实际上道出了自然数的本质特征之一。

    自然数中的第二个最重要的成果就是“位数”，这是数字中非常了不起的一件事情。个位、十位、百位、千位……你想想，大小关系有了的话，数是无穷无尽的，你只能用无穷无尽的数才能把它表示出来。事实上不用，10个字母就能把所有的数表示出来。为什么呢?因为有位数,在个位的2与在十位的2，其含义是不同的。中国过去有算盘，算盘体现了这种思想。但真正的表述是很困难的，一直到印度人，而后是阿拉伯人，最后由中国引入数位表示，所以说这个抽象是非常了不起的。

    自然数产生之后，就有了自然数系，为了加法的封闭运算就产生了整数；然后,为了除法的封闭运算就产生了有理数；为了根号的运算产生了无理数，这样

就产生了算术公理体系。一般来说，加法交换律、加法结合律、加法分配律，有0元素、有单位1,还有逆元素(如2与 互为逆元素)，满足这六条，运算一旦封闭之后，就构成一个算术体系。

   正是由于大小而产生了序(如大小顺序)的关系。序的关系很重要，有些时候数字本身并不重要，只需要知道序的关系就可以了——它就能够提供一定的信息。比如，评价几种酒的好坏，只是评价这种酒最好喝，那种酒其次，而其中的具体指标往往不需要知道。到近代数学之后，序的关系变得越来越重要。

    孔：如何理解图形关系呢?

    史：义务教育阶段(尤其是小学阶段)图形的核心问题在于讨论图形的直觉和直观，而图形关系的核心在于分类。分类问题中最好处理的是在两个集合不交时。如果两个集合的交集是非空的，就不那么好分类了。两个集合如果存在包含关系，就更不好分了。

    例如．将矩形、三角形放在一起，学生一下子就能分辨出来，这两个集合是不交的。但是，将矩形和菱形放在一起，就不太好分了，两个集合有交叉部分。最难的是矩形和正方形的分类，学生老也分不清，因为矩形包含正方形。

    我认为，在小学数学教学中,分类问题是非常重要的。直到大学数学还在研究分类问题，如曲面分类，等等，而拓扑学主要就研究分类问题。

    孔：当前，对于小学图形问题,大家普遍关心小学生数学学习方式的变革。你是如何看待这一问题的?

    史：基于小学生的年龄特征和身心发展规律，小学图形关系的学习必须是直观几何式的，而空间观念、几何直觉的培养至关重要。

    学生逻辑思维的训练和培养要在七年级以后才能正式开始，此时的逻辑也是基于直观意义的、物理背景的和非形式化的逻辑。

    例如，对于平移、旋转来说，无论是小学阶段还是初中阶段，都不能从严格的几何变换定义出发来研究变换的性质，从而研究图形的性质，而是直观地理解平移、旋转使图形产生了运动，在不同的运动中，图形的对应点之间遵循着一定的变化规律。了解图形的变换，对于学生认识丰富多彩的现实世界、形成初步的空间观念，以及对图形美的感受与欣赏，都是十分重要的。通过画简单的图形和运用平移、对称与旋转设计有趣的图案，有利于学生对图形之间的关系有一些初步的了解，有利于丰富学生的空间观念。在认识图形的基础上，小学阶段必须加强对图形变换(平移、对称和旋转等)的初步认识，使学生更全面地感知和体验周围的事物，认识和理解图形，逐步形成空间观念，发展逻辑思维能力和合情推理能力。

    当前，尤其值得关注的是，图形变换的课程内容载体的现实化、情景化和事例的代表性，同时，也要注意揭示其中所蕴含的数学含义，注意挖掘平移、旋转、轴对称、方位等的深刻内涵，以及彼此之间的关联，并在课程教学内容中加以恰当体现。这是深化义务教育几何课程内容改革的重要工作，也是数学课程标准修改所关注的重要问题。

    孔：很多中小学教师谈起统计关系时，心里总是发虚。作为统计学的专家，你是如何看待统计关系的?

    史：一般人认为，统计是这样的——它假定了一个模型：做一个实验只有两个结果，成功或失败。用O表示成功，用1表示失败，成功的概率是p，失败的概率是1-p。

    其实，这个模型表示的是概率，统计在这里什么也没有。要说明统计，你必须调查研究，必须得到数据。对于上面的模型，你可以进行调查，在n次的实验，成功了m次，那么，成功的频率是    ,结果表明，随着数据的丰富和积累(如n逐渐变大)， ≈p是，可以用频率估计概率p。

    所以，统计是建立在数据基础之上的，理解统计必须让学生亲身经历数据的收集、整理和决策的过程。

    孔：统计与概率、函数有什么区别?

    史：事实上，函数、统计、概率三者的差异是非常明显的，例如：小学1～3年级的同学都喜欢周星驰，4~6年级的同学都喜欢成龙。这是函数关系。

    小学1～6年级的同学中，三分之一的同学喜欢周星驰，三分之二的同学喜欢成龙。这是概率关系。

    而调查显示，小学l一6年级的同学中，三分之一的同学喜欢周星驰，三分之二的同学喜欢成龙。这是统计关系。

    如果喜欢周星驰的，用值0表示；喜欢成龙的，用值1表示，那么以上三种情况可以分别用数学式子表示为：

(1)x∈{l，2，3，4，5，6，}，y∈{0，1}，

    (2) ε∈服从分布

    (3)调查数据显示，P{y=0}= ，而P{y=l}= 。

    总之，函数关系表达的是一种确定关系，概率关系表达的是不确定关系中的理想状态(即应然状态)，而统计关系表达的是不确定关系中的实然状态。

    孔：分数曾引起世界数学界、教育界的讨论，直到现在，中国同行还在讥笑“美国中小学教师认为是合理的”。你是如何看待这类问题的?

    史：这实际上涉及如何理解分数的含义的问题。就整个中小学数学来说，分数主要有两个作用：一个是作为有理数出现的一种数，也就是，作为在运算中出现的一种数，它能和其他的数一样参与运算；另一个作用是以比例的形式出现的。而后者是小学分数教学的要点。因此，最重要的分数应该是真分数，它代表一个事物的一部分，其本质在于它的无量纲性。比如，盘子大小的代表的实际意义，与足球场大小的 代表的实际意义是不尽相同的，但是在讨论分数时又是等价的。

    但是，对于“等价”的使用，一定要慎重，特别是对于与“记数”有关的事物。

    孔：分数有时也表示成百分数，=者是等价的，但有区别，如何理解这个区别?

    史：以 为例，在通常情况下 =50％，二者是等价的，但是，二者的意义并非完全相同，很多情况下并非真正“等价”。例如，投篮球，连续投30次，投中15次，与投两次，只投中一次，前后两次的命中率虽然都是50％，但是给人的直观感觉是不一样的。前者的命中率显得更稳定一些，而后者可能是偶然的。

 孔：我们注意到，分数线有比的含义，你如何看待这里的比与数学上的“:”以及现实生活中的比的区别?

    史： 虽然等于1：2，但二者的意义有所不同，不宜混为一谈。在小学数学中，对于以比例形式出现的分数，在计算加法时更要十分慎重，有时候加法后的

  结果可能与原意不符。比如，甲乙两个队踢足球，第一场2：3，  第二场1：2，如何描述总的比赛结果呢?如果用分数的加法，结果为，这显然是不合常理的。

在现实生活中，对于处理分数的加法，有时候需要分子加分子、分母加分母。对于这个例子， 还是比较合理的。

    这是因为，在小学数学教学中，分数的加法遵循有理数加法法则。下面的例子更为明显：

    在某种药物的临床试验中，试验人员对一批患者进行了疗效跟踪调查。其中，男性患者50名，有疗效的23人；女性患者50人，有疗效的27人。此时，男性的有效率为46％，女性的有效率为=54％。现在需要描述总体疗效，总的有效率只能是 。

    在中小学数学统计教学中，可能会涉及到上面的类似问题。作为中小学数学教师，不仅需要了解数的运算，还需要与实际生活联系起来，了解数的本质和运算的意义。在此基础上，合理地组织教学是必要的。特别是，当学生提出类似问题时，教师应当思考其中是否有合理的成分，是否有生活的背景，而不是一味地否定学生的“怪想法”。

    孔：2007年12月，我去日本京都大学讲学，对于 ，日本同行非常迷茫。对此，我是这样分析的：表示第一个小组中的个体1(男性人数)占总体2的比例，而 表示第二个小组中的个体1(男性人数)占总体3的比例，现在将两个小组合并组成一个新的总体，此时， 表示的是男性人数占新总体的比例，第一个小组在新总体中占有的份额，第二个小组在新总体中占有 的份额，因而， 了。正是因为两个小组在新总体中所占的比倒不同，因而，不能采取分子加分子、分母加分母的计算方法。

    史：这种理解是正确的。这里的、 就是权重，只有当总体中各部分所占的权重相同时，采取分子加分子、分母加分母的计算方法，其结果才能与有理数加法的结果相同。

    孔：分数的无量纲性是国内外首次出现的新观点，你能否进一步说明它的重要性?

    史：分数无量纲性的意义在于，能够把事物的许多不可比的状态变成可比的状态。这一点，有时候对于数学活动特别是数学建模来说，也是有意义的。比如，一个小国和一个大国，其老百姓的生活质量和富有程度，在很多情况下并不是可比的。但是，一旦转换成人均GDP指数，或者得到恩格尔系数，就可以进行相互比较了。

    总之，在理解分数时，不能只考虑它是有理数，还要考虑到它是一种无量纲的数。从分数的无量纲性，我们可以更清楚地把握小学分数教与学的核心要点，以

及分数课程教学设计的侧重点。

    作为中小学数学教师，要学会感悟、反思和体验已有的数学教学内容的本质，尤其是找到并真正感悟中小学数学课程教学中的那些核心内容，及时地反思自己的数学教学工作，自觉体验和不断完善自己对教育的理解，并与他人及时地进行沟通、交流。只有这样，才能不断加速自己的专业化进程。

    (本文根据教育部《中西部地区农村义务教育学校教师国家级远程培训一数学》项目第3讲实录修改而成。)

注释：

    ①《爱因斯坦文集》第一卷，许  良英、范岱年编译，北京：商务印书馆，  1976~，第574页。

(责任编辑余慧娟)

文章来源：《人民教育》08年21期